Variation der numerischen Parameter

**Abbildung 1:** 1s Grundzustandswellenfunktion
$\begin{figure} \includegraphics{num1s1.eps}\end{figure}$

**Abbildung 2:** 4s Elektronenwellenfunktion
$\begin{figure} \includegraphics{num3s.eps}\end{figure}$

An Hand der Berechnung der 1s Grundzustandswellenfunktion (Abbildung 1) des Elektrons soll der Einfluß der verschiedenen für das Numerov-Verfahren relevanten Parameter untersucht werden. Die folgende Tabelle zeigt die, mit dem in Abschnitt 4 beschriebenen Programm, berechneten Energieeigenwerte des Elektrons im Grundzustand, wobei die mit dem exakten Wert übereinstimmenden Stellen unterstrichen sind. Die analytische Lösung liefert eine Energie von -13,59829203 eV.

**Tabelle 1:** Energieeigenwerte bei Variation des Schrittanzahl *NStart* und der Schrittweite h. Der Startpunkt der Integration liegt folglich bei $Nstart \cdot h$ .
NStart	h [nm]	$Nstart \cdot h$ [nm]	E [eV]
1000	0.01	10	$\underline{-13},337482103$
10000	0.001	10	$\underline{-13,59}51206519$
30000	0.0003	9	$\underline{-13,598}0027125$
100000	0.0001	10	$\underline{-13,5982}59816720494442$
100000	0.0005	50	$\underline{-13,598}002712$
100000	0.00001	1	$\underline{-13,59829}17703$
300000	0.000003	0.9	$\underline{-13,59829}063$
1000000	0.000001	1	$\underline{-13,5982920}0823$
1000000	0.00001	10	$\underline{-13,5982920}1770$
30000	0.00003	0.9	$\underline{-13,5982}8918$

Tabelle 1 zeigt deutlich, daß mit einer Verkleinerung der Schrittweite bei gleichbleibendem Startpunkt der Integration eine immer bessere Übereinstimmung mit dem exakten Ergebnis erreicht wird.

Der Einfluß der Ausgangspunktes des Integration ist im Vergleich zu jenem der Schrittweite nicht gravierend sofern dieser in einem Bereich liegt, in dem die Wellenfunktion bereits auf ca 10^-4 des absoluten Maximums abgefallen ist. In Tabelle 1 kann man erkennen, daß bei 100000 Schritten das beste Ergebnis für die kürzeste Schrittweite, das heißt den nähesten Integrationsstartpunkt erreicht wird. Der Grund dafür ist natürlich, daß bei größeren Schrittweiten die ,,Auflösung'" geringer ist und damit die Näherung der Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ungenauer ist.

Der Vergleich der numerisch berechneten Wellenfunktionen mit den numerisch ausgewerteten analytischen Lösungen zeigt, daß der relative Fehler im Bereich von 10^-4 liegt.