Implementierung in FORTRAN

  Das Programm, das die im Abschnitt 5 diskutierten Ergebnisse liefert, besteht im wesentlichen aus vier Teilen.

Zuerst werden alle frei definierbaren Parameter eingelesen und die notwendigen Konstanten festgelegt. Die Schrittweite, die für die Auswertung der Differenzenquotienten von entscheidender Bedeutung ist, kann frei festgelegt werden. Ebenso kann die Entfernung in Schritten vom Proton, die den Startpunkt der Integration darstellt und bei der die asymptotische Lösung bereits eine gute Näherung sein muß, frei vorgegeben werden. Weiters muß eine Näherung für die Elektronenenergie angegeben werden. Das Newton-Verfahren erzeugt dann immer bessere Näherungen und konvergiert (hoffentlich) gegen einen Energieeigenwert des Elektrons.

Den zweiten Teil stellt die Schleife des Newton-Verfahrens dar, das so lange versucht eine bessere Lösung zu finden, bis die vorgegebene Genauigkeit (eine bestimmte Anzahl von Stellen, die sich nicht mehr ändert) erreicht ist.

In diese Schleife ist der dritte Teil, das eigentliche Numerov-Verfahren eingebettet. Schritt für Schritt wird die Wellenfunktion (eigentlich $u_l(r)=R(r)\cdot r$, eine Lösung der Gleichung (4) des Elektrons berechnet. Einen Schritt vom Ursprung entfernt wird Gleichung (7) ausgewertet. Deren Ergebnis muß verschwinden, wenn es sich um eine am Ursprung reguläre und damit physikalisch sinnvolle Wellenenfunktion handelt. Auf diese Funktion kann damit das Newton-Verfahren angewandt werden, das eine neue Näherung für den Energieeigenwert bestimmt.

Mit diesem Ergebnis wird im dritten Teil eine neue Wellenfunktion berechnet, eine weitere Näherung für den Energieeigenwert bestimmt und so fort.

Den vierten Teil stellt die Auswertung der analytischen Lösung Gleichung (2) dar. Da das Wasserstoffatom eine analytische Lösung besitzt, bietet es natürlich die interessante Möglichkeit die numerisch gefundene mit der analytischen und numerisch ausgewerteten Lösung zu vergleichen. Um dies zu vereinfachen, werden die beiden Wellenfunktionen normiert. Für die analytische Lösung kennt man den Vorfaktor, der zu

$$\int_0^\infty\vert R(r)\cdot r\vert^2 dr=1$$

führt. Damit muß nur noch die aus dem Numerov-Verfahren resultierende Lösung geeignet normiert werden. Dazu bietet es sich an, eines der numerischen Integrationsverfahren zu verwenden.

Die Trapezregel stellt eine einfache und schnelle Möglichkeit dar, das Integral über $\vert u_l(r)\vert^2$ zu bestimmen. Das in einem Durchlauf bestimmte Integral wird dann als Näherung für die nächst bessere Wellenfunktion verwendet, um diese auf 1 zu normieren.