Implementierung

Bei dem verwendeten Single-Spin-Flip-Modell ändert sich der Spin s_i bei einem Übergang vom Zustand z in einen neuen Zustand z' nur für ein festes l (s'_l = -s_l und $s_l=\pm 1$ beim Ising-Spin-1/2-Modell), also gilt

$$s'_i = s_i - 2s_l \delta _{il}.$$

Einsetzen in (1) und Ausnützen der Symmetrie $i \leftrightarrow j$ in der Summe und von $i \neq j$ liefert für die Energiedifferenz zwischen neuem und bisherigem Zustand

$$\Delta H = H(z')-H(z) = 2 J s_l \sum\limits_{\left\langle j \right\rangle} s_j,$$

wobei $\left\langle j \right\rangle$ die nächsten Nachbarn (= NN) von l bezeichnen soll.
Wenn, so wie hier in diesem Fall, die Austauschwechselwirkung J nur für die NN ungleich Null ist und für diese außerdem konstant bleibt, empfiehlt es sich, sogenannte NN-Tabellen für die Berechnung der Übergangswahrscheinlichkeit anzulegen. Diese muß dann nicht für jeden einzelnen Monte-Carlo-Step, sondern nur noch einmal für eine feste Temperatur berechnet werden. Da wir freie Randbedingungen in z-Richtung und periodische in der x-y-Ebene haben, benötigen wir mehrere NN-Tabellen:

• für die Oberflächen in z-Richtung
• für das Innere
• für den Sonderfall einer einzigen Schicht

Die für die Berechnung der Übergangswahrscheinlichkeit wesentliche Summe $s_l \sum_{\left\langle j \right\rangle} s_j$ nimmt im Inneren (die Anzahl der NN liegt hier immer bei sechs) nur Werte aus der Menge $\{0;\pm 2;\pm 4;\pm 6\}$ an. In der folgenden Tabelle sind die zu diesen Werten passenden Spinkonfigurationen aufgelistet und bereits in einer für unsere Zwecke geeigneten Weise sortiert. Neben der Stellung des betrachteten Spins (l ist hier und im folgenden immer fest) ist für die Berechnung der Summe bei den NN nur die Anzahl der $\uparrow$- und $\downarrow$-Spins von Interesse. In der Spalte s_j finden sich nacheinander die Anzahl der $\uparrow$- und dann die der $\downarrow$-Spins der NN von s_l. $iss \enspace (\equiv iss_l)$ ist der Wert der entsprechenden Spinkonfiguration in der Spintabelle. Liegt zum Beispiel ein Eintrag in der Spintabelle bei vier, so entspricht das s_l = 1 für den betrachteten Spin, s_j = -1 für fünf NN und s_j = 1 für einen NN.

$$\begin{array} {\vert c\vert c\vert c\vert r\vert r\vert} \hl... ...} & {6 \uparrow 0 \downarrow} & +14 & 14 \\ \hline\end{array}$$

Die Wahrscheinlichkeit, mit der für eine bestimmte Spinkonfiguration (die Spalten s_l und s_j) ein Spin-Flip stattfindet, ist in der Tabelle der Übergangswahrscheinlichkeiten am zugehörigen Tabellenplatz ien = |iss| eingetragen und errechnet sich mit Hilfe von (2) und

$$s_l \sum_{\left\langle j \right\rangle} s_j = \left\{ \begi... ...in \hbox{\rlap{I}\kern.16em\rlap{I}N}_g$} \end{array} \right.$$

Erfolgt nun ein Spin-Flip, so geht in der Spintabelle iss_l für den betreffenden Spin s_l in $iss_l - 15 \mbox{ sgn} (iss_l)$ und für dessen NN s_j geht iss_j in $iss_j - 2 \mbox{ sgn} (iss_l)$ über.
Für die NN-Tabelle bei den Oberflächen in z-Richtung und die bei einer einzigen Schicht ist die Vorgangsweise gleich. Man geht dann nur von fünf beziehungsweise vier NN aus, woraus sich eine entsprechende Änderung der zuvor präsentierten Ergebnisse ableitet.
Als Anfangskonfiguration haben wir alle Spins $\uparrow$ gewählt ($s_l = 1~\forall l)$.
Die Anfangsmagnetisierung ist daher proportional zu L² L₃, die Anfangsenergie aufgrund von (1) proportional zu -L² (3L₃ - 1), wobei L die Lineardimension in x- und y-Richtung und L₃ die in z-Richtung ist. Bei der Berechnung der Energie ist die unterschiedliche Anzahl der NN in den Oberflächenschichten in z-Richtung, im Inneren und in einer einzigen Schicht zu berücksichtigen.
Die im Programm verwendete Rechengröße m_mcs steht mit der tatsächlichen Magnetisierung m_t über

$$m_{mcs} = m_t \frac{L^2 L_3}{m_{t,Anfang}}$$

in Zusammenhang, die Rechengröße E_mcs mit der tatsächlichen Energie E_t über

$$E_{mcs} = E_t \frac{L^2 (3L_3 - 1)}{E_{t,Anfang}}.$$

m_mcs ändert sich beim Spin-Flip um $-2 \mbox{ sgn}(iss)$, E_mcs um $\Delta H / J$.
Sowohl Magnetisierung als auch Energie sind im endgültigen Plot auf ihre Anfangsgrößen, die daraus abgeleiteten Größen $\chi$ und C hingegen auf willkürliche Einheiten normiert.